\begin{exo}
Soit $W$ une variable aléatoire, à valeurs dans $\{1,2, \ldots,
n-1\}$, avec $n\ge3$ de loi de probabilité définie~:
$$
\forall k \in \{1,2, \ldots, n-1\} \mbox{, } P(W = k) = C_n
\max(k,n-k)
$$
oé $C_n$ est une constante.
\begin{questions}
\question Déterminez la valeur de la constante $C_n$.
\begin{solution}
On peut remarquer que $\forall k \in <1,n-1>$ on a $P(W=k)=P(W=n-k)=P(n-W=k)$ (le max est symétrique). On étudiera donc pour $k\leq \E (\frac n2)$ où $\E$ est la partie entiére. 

On a $\forall k\leq \E (\frac n2)$
$$
P(W=k) = max(k,n-k) = n-k
$$

Par symétrie on en déduit la valeur pour $k>\E (\frac n2)$. Distinguons le cas où $n$ est pair :\\

Il existe $p\in \N$ tel que $n=2p$ et $\forall k\leq p$, $P(W=k)=2p-k$. Ainsi $2*\sum_{k=1}^{p-1} (2p-k)+ p=\frac 1C$ d'où $C=\frac{1}{p(3p-2)}$.\\

Si $n$ est impair alors $n=2p+1$ et $ 2 *\sum_{k=1}^{p} (2p+1-k)=\frac 1C$ d'où $C=\frac{1}{p(3p+1)}$.
\end{solution}
\question Calculez $\mathbb{E}(W)$ et $\mathbb{E}(n-W)$.
\begin{solution}
$\E[W]=\E[n-W]$ d'où $\E[W]=\frac n2$.
\end{solution}
\end{questions} 
\end{exo}
\rubrique{ProbaStat}
\motcles{loi de probabilité, espérance}
